Com veuria el món una formiga que viatgès sobre una pilota? Gravitació. Principi d'equivalència.

A partir d'un experiment senzill, amb moviment parabòlic, tractaré d'introduir el principi d'equivalència, que va ser fonamental per poder desenvolupar la teoria de la Relativitat General. Aquesta teoria, formulada el 1915 per Albert Einstein, representa una millora, respecte a la teoria de la gravitació formulada per Isaac Newton (2), respecte a les contrastacions experimentals. El nostre experiment consisteix en el llançament simultani de dues pilotes amb un tir parabòlic. Totes dues pilotes descriuen una paràbola. A partir d'això, ens farem la següent pregunta: Quin tipus de moviment observaríem que tindria una de les pilotes si nosaltres (o una formiga) anéssim fixats a l'altra pilota? O dit d'una altra forma: Què observem quan estem en caiguda lliure (com en un tir parabòlic)? La resposta d'aquesta pregunta, a partir de la gravació de les trajectòries en vídeo i la posterior anàlisi matemàtica és un bon punt per introduir el principi d'equivalència.

Tir parabòlic: 

Hem estudiat el tir parabòlic, gravant en vídeo (3) el moviment simultani de dues pilotes (A i B), de bàsquet, en caiguda lliure a prop de la superfície de la terra (tir parabòlic). Hem processat el vídeo (4) per tal d'estudiar els moviments. A sota podeu veure el vídeo, amb les trajectòries, $y$ en funció de $x$, la representació gràfica de la trajectòria de la pilota B (la pilota B surt de la dreta), i les corresponents taules de valors. També veieu en color lila el sistema de referència $(x,y)$ utilitzat en aquest cas, que estava fixat a terra i on $x$ apunta horitzontal cap a la dreta i $y$ apunta vertical amunt. 

Amb aquestes dades, es poden ajustar les corbes $x(t)$ i $y(t)$, per qualsevol de les dues pilotes, a un Moviment Rectilini Uniforme (una recta) i a un Accelerat (paràbola), respectivament i llavors obtenir l'acceleració de la gravetat $g$ al lloc on es va fer l'experiment, i les condicions inicials (posicions i velocitats inicials). No tracto aquest aspecte en aquest post, però seria una pràctica molt interessant per realitzar amb alumnes de 4t ESO o de 1r de Batxillerat.

Però, un alumne avantatjat encara pot fer-se més preguntes, com per exemple, sobre la realitat que observaria un observador accelerat, fixat a una de les pilotes. El marcatge d'accelerat en cursiva no és accidental, respon a un debat que tindrem a sota. Fins ara hem vist la pilota movent-se en un sistema d'eixos fixats a terra, amb equacions del moviment (corbes on el temps $t$ és el paràmetre) $x_A(t)$, $y_A(t)$ (per la pilota que surt de l'esquerra), i  $x_B(t)$, $y_B(t)$ (per la pilota que surt de la dreta). Així mateix, hem vist al vídeo la trajectòria de la pilota (B), mostrant que la funció $y_B(x_B)$ és una paràbola. Ara ja tenim les eines per enunciar la pregunta:

Què observaria un observador fixat a una de les dues pilotes? Això és: Què veuria una formigueta que visqués sobre una de les pilotes (sense caure)?

El següent vídeo mostra un sistema de referència fixat a la pilota A (la que surt de l'esquerra). Podeu veure que ara els eixos (en color lila) viatgen fixats a la pilota A. A la dreta de la imatge tenim la representació gràfica de les posicions de la pilota B: $y'_B$ en funció de $x'_B$, això és: $y'_B(x'_B)$. Fem servir les coordenades $(x',y')$ primades quan són mesurades per l'observador fixat a la pilota A. La pilota A està aturada respecte a ella mateixa, i per tant $x'_A(t)=$constant i $y'_A(t)=$constant. Això és, la formiga fixada a la pilota A no veu que aquesta es mogui, exceptuant possibles rotacions que no considerem aquí.

La funció $y'_B(x'_B)$ és molt semblant a una recta (part dreta del vídeo). De fet, ha de ser exactament una recta, tal com discutirem a sota. Les possibles desviacions d'una recta són degudes segurament a l'error instrumental, error de procés de les imatges i a la fricció aerodinàmica. 

Per a veure una mica més clar com s'està movent la pilota B en relació (o respecte) a la pilota A, a sota representem les posicions $x'$ i $y'$ (recordem que primat vol dir respecte a la pilota A) en funció del temps:

El temps del moviment simultani de les pilotes és d'una mica més 1 s. Tant la funció $x'(t)$ (punts negres), com la funció $y'(t)$ (punts vermells) s'ajusten prou bé a rectes. La pilota té velocitat constant: descriu un Moviment Rectilini Uniforme. Mirant els pendents de les rectes trobem que el vector velocitat és:

$\vec{v}'=(-9.42 , -2.06)$ m/s

El mòdul d'aquest vector és:  $v'=9.6$ m/s

A partir d'aquí, la trajectòria $y'_B(x'_B)$ és també una recta.

Ara, ja tenim prou eines per respondre a la pregunta:

Resposta: Un observador fixat a la pilota A veuria que la pilota B descriu un moviment rectilini amb velocitat constant. 

Quina explicació podem donar a aquest fet?

Explicació a partir del principi d'equivalència feble: 

Aquest principi estableix que la massa inercial i la massa gravitatòria són idèntiques. De fet, és una forma elegant d'escriure les observacions experimentals de Galileu al segle XVII. Encara que la llegenda popular diu que Galileu va deixar caure objectes des de dalt de la torre de Pisa, en realitat va fer experiments amb plans inclinats i va utilitzar els seus coneixements de música i cordes vibrants per mesurar els temps. L'acceleració de qualsevol cos en caiguda lliure a prop de la superfície de la terra serà independent de la massa del cos. Anem a veure això: Si la massa inercial $m_i$ i la massa gravitatòria $m_g$ són iguals, $m_i=m_g$, llavors podem simplificar la segona llei de Newton $m_i \cdot a=m_g \cdot g$, obtenint $a=g$. Tots els cossos, si només actua la gravetat, independentment de la seva massa o propietats, cauen amb la mateixa acceleració. Cal remarcar que això funciona a escala local, això és, si no em desplaço gaire i, per tant, el camp gravitatori $g$ és constant. 

Per exemple quan faig experiments a prop de la superfície de la terra o de la lluna sense allunyar-me grans distàncies ni horitzontals ni verticals. Aquestes escales espacials al nostre experiment són de l'ordre dels metres. 

 

El vídeo que teniu a sota és una verificació clàssica d'aquest fet, a la superfície de la lluna (1971 Apollo XV).  La ploma i el martell arriben simultàniament a terra (de fet a la superfície lunar).

Tornem al moviment de les nostres pilotes: La posició relativa de B respecte a A és: $x'_B=x_B-x_A$ i  $y'_B=y_B-y_A$. Si l'acceleració és la mateixa pels dos cossos, llavors, els termes $\frac{1}{2}g \cdot t^2$, presents a $y_A(t)$ i $y_B(t)$ cancel·len, ja que són idèntics, i podem trobar que $y'_B(t)$ i $x'_B(t)$ són rectes i, per tant, $y'_B(x'_B)$ també ha de ser una recta, tal com hem pogut veure amb la trajectòria de les pilotes a la figura i al vídeo. Qualsevol desviació d'un comportament lineal tindrà a veure amb forces diferents de la gravetat, com la fricció aerodinàmica. 

Explicació a partir de la interpretació amb el principi d'equivalència d'Einstein (1915): 

El principi d'equivalència d'Einstein és una ampliació del principi d'equivalència feble, per tal de poder resoldre més situacions físiques. Tal com Einstein va dir, va ser la idea més afortunada de la seva vida. La podem formular en la forma: Un observador en caiguda lliure no sent la gravetat a efectes de mesures locals, que vol dir espais reduïts i temps petits. Dit d'una altra forma (5):

"In small enough regions of spacetime, the laws of physics reduce

to those of special relativity,· it is impossible to detect the existence of a

gravitational field by means of local experiments."

L'observador A, la formigueta sobre la pilota A, és un observador en caiguda lliure, no sent la gravetat, i per tant descriu el moviment de B com un moviment rectilini (sempre que B no estigui molt lluny i l'experiment duri poc temps). Des del punt de vista de la pilota A, sobre la pilota B no actua cap força i, per tant, aquesta descriu un moviment rectilini amb velocitat constant.

Els observadors en caiguda lliure seran observadors localment inercials i si fan mesures locals, podrem dir que la gravetat no existeix com a força. Qualsevol altra partícula, sobre la que no actuï cap força (diferent de la gravetat) descriurà un moviment rectilini i uniforme. Per tant, el sistema de referència que porten associat compleix la primera llei de Newton. Abans hem classificat a la formigueta que viatja amb la pilota A com accelerat en cursiva. Ara, si ho pensem, podem afirmar que la formiga és un sistema de referència inercial i és la terra la que accelera amunt. Aquesta perspectiva va ser clau per introduir la Relativitat General el 1915.

Cal remarcar que l'expressió "In small regions of spacetime" o "a efectes de mesures locals" és bastant ambigu. De fet, quan s'aprofundeix en les matemàtiques de la relativitat general, això és, la geometria diferencial, es pot enunciar més concretament en forma quantitativa. Llavors podem trobar per cada punt de l'espaitemps, un sistema de referència localment inercial on la mètrica en aquell punt és la de la relativitat especial (mètrica de Minkowski) i les seves derivades primeres són nul·les. Les derivades segones de la mètrica, en general diferents de zero, són les que descriuen la curvatura de l'espai temps i, per tant, la gravetat.

Bibliografia:

1: Gravitation. Misner, Thorne, Wheeler, 1973.

2: Philosophiæ naturalis principia mathematica, Newton, 1687.

3: Agraeixo la participació dels meus alumnes de 1r ESO D durant el juny de l'any 2023. La gravació es va dur a terme amb una càmera tipus GoPro.

4: El software tracker (https://physlets.org/tracker/) permet obtenir l'equació del moviment, $x(t)$ i $y(t)$, de diversos objectes, a partir d'una gravació de vídeo, utilitzant la detecció automàtica d'un cert objectiu (ex: una pilota) fotograma a fotograma. Cal utilitzar una longitud de calibració (ex: un regle) per transformar els píxels en unitats de longitud (com metres).

5: Space time and Geometry: An introduction to general relativity, Sean Carroll, 2019.