El conte de les formigues sobre una esfera. Món pla o corbat? Nombre $\pi$. Circumferències.

 

Amb aquest conte pretenc ficar sota tela de judici, o sota una lupa, aquells coneixements que aprenem quan som petits (a la ESO) sobre geometria. En particular, analitzarem la geometria sobre la superfície d'una esfera, on veurem que hi ha principis acceptats que s'han de reformular i introduir una nova geometria, la geometria diferencial, que ens permet estudiar espais corbats (com l'esfera).

Formigues sobre una esfera.

Hi havia un món de dues dimensions on vivien dues formiguetes (A i B). Elles no ho sabien, ja que només es podien moure endavant/endarrere i esquerra/dreta, però vivien a la superfície d’una esfera de radi $R$. No podien sortir cap a la tercera dimensió (dalt/baix), no la coneixien.

Havien après geometria amb un llibre de nom “Flatland, la terra dels Euclidians” (1). Totes dues formiguetes eren molt curioses i feien mesures. Però, sorpresa: Els seus resultats no coincidien amb els que proposava el llibre. En particular, si caminaven en línia recta sempre acabaven tornant al mateix lloc.

Un dia, van decidir comprovar un enunciat respecte a la longitud d’una circumferència: “Si dividiu la longitud d'una circumferència de radi $r$ pel seu diàmetre ($2r$), trobareu sempre el mateix resultat, el nombre $\pi=3.14159$ (2), independentment de la mida de la circumferència”. Si la longitud de la circumferència és $L$, llavors trobem:

$\frac{L}{2r}=\pi$

Aquest resultat us deu sonar, és l'expressió matemàtica per trobar la longitud d'una circumferència. 

Per a fer el seu experiment van fer el muntatge que teniu a la figura. La formiga A va fixar una corda de longitud $d$ (color blau) a una estaca clavada a terra, i la formiga B, agafant l’altre extrem de la corda va fer el seu camí (amb la corda tibada) fins a arribar al lloc de sortida (3). Fixeu-vos que el camí que descriu la formiga B està dibuixat amb color vermell. Anomeneu $L$ a la longitud del camí que va fer B i a $2d$ el diàmetre de la circumferència. 

Ara, ja tenim les eines per fer-nos les següents preguntes:

Quin valor de $\frac{L}{2d}$ van trobar les formigues? Van trobar $\pi$?

Caldrà reformular la geometria?

Ara que ja heu rumiat una mica anem a veure les respostes a partir de la figura que tenim a sota: 

L'angle $\alpha$ en radiants és $\alpha=d/R$. El radi $r$, quan veiem el camí de la formiga B de forma extrínseca a l'esfera és: $r=R\cdot \sin{\alpha}$. La longitud de la circumferència $L$ és:

$L=2 \pi r=2 \pi R \cdot \sin{\left( \frac{d}{R} \right)}$

Finalment, podem dividir la longitud de la circumferència pel diàmetre:

$\frac{L}{2d}= \pi \cdot \frac{\sin{\left( d/R \right)}}{d/R} $        (eq.1)

A la darrera expressió veiem que $L/2d$ depèn de la curvatura del món on viuen les formigues ($R$) i del radi de la circumferència que han descrit (d), a través de la raó $\alpha=d/R$. A geometria plana (flatland), $\frac{L}{2d}=\pi$, això és, sempre pren un valor constant.

Podem avaluar l'equació 1 per diferents angles:

30°    $\alpha=d/R=\pi/6\simeq 0.52$    $\frac{L}{2d}=3$

45°    $\alpha=d/R=\pi/4\simeq 0.79$    $\frac{L}{2d}=2\sqrt[]{2}\simeq 2.83$

60°    $\alpha=d/R=\pi/3\simeq 1.05$    $\frac{L}{2d}=3\sqrt[]{3}/2\simeq 2.60$

90°     $\alpha=d/R=\pi/2\simeq 1.57$    $\frac{L}{2d}=2$

Si féssim angles de l'hemisferi inferior aquests valors anirien creixent de forma simètrica.

A partir de l'equació 1, si fem una expansió en serie de Taylor (4) trobem que en el límit d'un espai pla (flatland), equivalent a radi de curvatura R molt gran, o equivalentment fer la longitud de la corda d molt petita, això és $\alpha=d/R\to 0$, recuperem, com a límit: $\frac{L}{2d}=\pi$.

Ara sí podem respondre les preguntes:

Quin valor de $\frac{L}{2d}$ van trobar les formigues? Van trobar $\pi$?

Si divideixo la longitud de la circumferència per diàmetre (el doble de la longitud de la corda) $\frac{L}{2d}$, no obtindre un valor constant, a diferència del que passava quan treballava amb geometria plana. De fet, quan la corda és molt i molt curta sí que obtindran $\pi=3.14159$, però a mesura que la corda es va fent més i més llarga, llavors aniré obtenint valors cada vegada més petits.

Caldrà reformular la geometria?

La geometria la va començar a reformular Gauss (1777-1855) i posteriorment Riemann (1826-1866), que era estudiant seu. Van establir una nova branca de les matemàtiques: la Geometria Diferencial. 

 

(1) De fet, hi ha un llibre antic que parla sobre la interacció entre éssers de 2 dimensions amb éssers de 3 dimensions: Flatland: A Romance of Many Dimensions, Edwin Abbott Abbott, 1884

(2) Sabem que el nombre $pi$ és irracional, i per tant té infinites xifres decimals sense cap patró de repetició. Nosaltres hem donat 6 xifres decimals.

(3) La corda en estar tibada descriu una geodèsica entre la posició de la formiga A i la B, això és, el camí més curt possible. Les geodèsiques sobre una esfera són arcs de les circumferències més grosses que podem construir, com els meridians de la terra per exemple.

(4) Expansió en sèrie de Taylor de la funció sinus per $x<<1$: $\sin{x}= \frac{1}{1!}x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\frac{1}{9!}x^9+\ldots \:$. Al text hem fet $x=\\alpha = d/R$.